Question

【題目】如圖，將ABCD的邊DC延長到點E，使CE＝DC，連接AE，交BC于點F．

（1）求證：△ABF≌△ECF；

（2）若∠AFC＝2∠D，連接AC、BE，求證：四邊形ABEC是矩形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）先由已知平行四邊形ABCD得出AB∥DC，AB＝DC，∠ABF＝∠ECF，從而證得△ABF≌△ECF；

（2）由（1）得的結論先證得四邊形ABEC是平行四邊形，通過角的關系得出FA＝FE＝FB＝FC，AE＝BC，得證．

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，AB＝DC，

∴∠ABF＝∠ECF，

∵EC＝DC，∴AB＝EC，

在△ABF和△ECF中，

∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，

∴△ABF≌△ECF（AAS）．

（2）∵AB＝EC，AB∥EC，

∴四邊形ABEC是平行四邊形，

∴FA＝FE，FB＝FC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ABC＝∠D，

又∵∠AFC＝2∠D，

∴∠AFC＝2∠ABC，

∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，

∴∠ABC＝∠BAF，

∴FA＝FB，

∴FA＝FE＝FB＝FC，

∴AE＝BC，

∴四邊形ABEC是矩形．