Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c過點A(3, 0)、點B(0, 3)．點M(m, 0)在線段OA上（與點A、O不重合），過點M作x軸的垂線與線段AB交于點P，與拋物線交于點Q，聯結BQ．

（1）求拋物線表達式；

（2）聯結OP，當∠BOP＝∠PBQ時，求PQ的長度；

（3）當△PBQ為等腰三角形時，求m的值．

Answer 1

【答案】(1) y＝x2＋2x＋3；(2) ；(3) m的值為2、或1.

【解析】

（1）將點A (3, 0)、點B (0, 3) 分別代入拋物線解析式y＝x2＋bx＋c，化簡求出b，c的值即可；

（2）根據∠BOP ＝∠PBQ且MQ∥OB，可證△OBP ∽△BPQ，可設Q（x，x2＋2x＋3），求出直線AB的解析式，則可得P 的坐標為(x，3－x)，可得BP＝x，OB＝3，PQ＝x2＋3x，利用相似三角形的對應邊成立比例即可求解；

（3）分三種情況討論：①當BQ＝PQ時，②當BP＝PQ時，③當BP＝BQ時，然后分別求解即可.

（1）∵將點A (3, 0)、點B (0, 3) 分別代入拋物線解析式y＝x2＋bx＋c得

，解之得：

∴拋物線的解析式為y＝x2＋2x＋3

（2）

∵∠BOP ＝∠PBQ且MQ∥OB

∴∠OBP ＝∠BPQ

∴△OBP ∽△BPQ

設Q（x，x2＋2x＋3）

∵P點在直線AB上，并A (3, 0)、B (0, 3)，

則直線AB的解析式為：

∴ P (x，3－x)

∴BP＝x，OB＝3，PQ＝x2＋3x

∴ 即

∴（0舍去）

∴

（3）∵M（m，0），P（m，3－m），Q（m，m2＋2m＋3）

∴BP＝m，PQ＝m2＋3m且∠BPQ＝45°

∴當△BPQ為等腰三角形時，存在如下情況：

①如圖1，當BQ＝PQ時，即∠PBQ＝∠BPQ＝45°

∴△BPQ為等腰直角三角形 ∴m2＋2m＋3＝3

∴m＝2

②當BP＝PQ時,即m＝m2＋3m，即（0舍去）

③如圖2，當BP＝BQ時，∠BQP＝∠BPQ＝45°

根據，，可得

則有 ，

∴m＝1

綜上所述，m的值為2、或1.