Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數，且a≠0）的圖象與x軸的交點的橫坐標分別為﹣1、3，則下列結論：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+2c＞0；④對于任意x均有ax2﹣a+bx﹣b≥0，正確個數有（　　）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】B

【解析】

由拋物線開口方向得到a＞0，利用拋物線與x軸的交點問題和拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x＝1，即﹣＝1，所以b＝﹣2a＜0，利用拋物線與y軸的交點位置得到c＜0，則可對①進行判斷；利用b＝﹣2a可對②進行判斷；由于x＝﹣1時，y＝0，所以a﹣b+c＝0，則c＝﹣3a，3a+2c＝﹣3a＜0，于是可對③進行判斷；根據二次函數性質，x＝1時，y的值最小，所以a+b+c≤ax2+bx+c，于是可對④進行判斷．

解：∵拋物線開口向上，

∴a＞0，

∵拋物線與x軸的交點的坐標分別為（﹣1，0），（3，0），

∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，即﹣＝1，

∴b＝﹣2a＜0，

∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，

∴c＜0，

∴abc＞0，所以①錯誤；

∵b＝﹣2a，

∴2a+b＝0，所以②正確；

∵x＝﹣1時，y＝0，

∴a﹣b+c＝0，即a+2a+c＝0，

∴c＝﹣3a，

∴3a+2c＝3a﹣6a＝﹣3a＜0，所以③錯誤；

∵x＝1時，y的值最小，

∴對于任意x，a+b+c≤ax2+bx+c，

即ax2﹣a+bx﹣b≥0，所以④正確．

故選：B．