Question

【題目】如圖，在菱形中，對角線，，點從點出發沿方向勻速運動，速度是，點從點出發沿方向勻速運動，速度是，，與交于點，連接.設運動時間為.

（1）當于時，求的值；

（2）設四邊形的面積為，求與之間的函數關系式；

（3）是否存在某一時刻，使平分？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時；（2）；（3）當時平分.

【解析】

（1）由題意得：，，，根據菱形的性質求出AO、BO、AB的值，再根據同角的余弦得出cos∠ABO ，代入計算即可求解；

（2）過作，垂足為，根據同角的正弦弦得出sin∠ABO ,求出MQ，根據平行證出，由相似三角形的性質求出EQ，根據梯形的面積公式即可求得與之間的函數關系式；

（3）假設存在時刻，使平分，則，過作，垂足為，先證出△PBQ是等腰三角形，根據三線合一可得BN=BQ=4-t，再根據同角的余弦得出cos∠ABO，代入計算即可求的值．

解：（1）由題意得：，，.

∵四邊形是菱形，

∴，，，

∴.

假設存在使，

在中，，

在中，，

即，

得.

∴當時；

（2）過作，垂足為，

在中，

.

∵，，

∴，四邊形BPQE是梯形，

∴.

又∵，

∴，

∴，即，

∴，

，

∴，

∴；

（3）假設存在時刻，使平分，則，

過作，垂足為，

∵，

∴，

∴，

∴.

∵，

∴.

在中，，

∴，

解得.

∴當時平分.

故答案為：（1）當時；（2）；（3）當時平分.