Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A（-

1

2

，0），B（2，0），且與y軸交于點C．
（1）求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；
（2）點P是x軸下方的拋物線上一動點，連接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，求出使四邊形POP′C為菱形的點P的坐標；
（3）在此拋物線上是否存在點Q，使得以A，C，B，Q四點為頂點的四邊形是直角梯形？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求出二次函數的解析式即可，再利用勾股定理逆定理得出△ABC的形狀；
（2）根據菱形的性質得出PC=PO，進而求出x2-

3

2

x-1=-

1

2

，得出x的值，即可得出P點的坐標；
（3）分別從若以BC為底邊，則BC∥AQ，以及κ若以AC為底邊，則BQ∥AC，分別分析即可得出答案．

解答：解：（1）根據題意，將A（-

1

2

，0），B（2，0）代入y=x²+bx+c中，
解得拋物線的解析式為y=x2-

3

2

x-1，
當x=0時，y=-1．∴點C的坐標為（0，-1）．
∴在△AOC中，AC=

OA2+OC2

=

( 1 2 )2+12

=

5

2

．
在△BOC中，BC=

OB2+OC2

=

22+12

=

5

．
AB=OA+OB=

1

2

+2=

5

2

，
∵AC²+BC²=

5

4

+5=

25

4

=AB²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）設P點坐標為（x，x2-

3

2

x-1），PP′交CO于E，
∵四邊形POP′C是菱形，
∴PC=PO．
連接PP′則PE⊥CO于E，
∴OE=EC=

1

2

，
∴y=-

1

2

．
∴x2-

3

2

x-1=-

1

2

，
解得x₁=

3+ 17

4

，x₂=

3- 17

4

，
∴P點的坐標為（

3+ 17

4

，-

1

2

）或（

3- 17

4

，-

1

2

）；

（3）存在．由（1）知，AC⊥BC，設Q點坐標為（a，a2-

3

2

a-1），
①若以BC為底邊，則BC∥AQ，
∴∠ABC=∠QAB如圖①
過點Q作QE⊥x軸于點E，則有△QAE∽△ABC，
∴

QE

AC

=

AE

BC

∴

a2- 3 2 a-1

5 2

=

a+ 1 2

5

，
解得a₁=

5

2

，a₂=-

1

2

（舍去）．
當a=

5

2

時，y=

3

2

，
∴點Q（

5

2

，

3

2

），
②若以AC為底邊，則BQ∥AC，
∴∠CAB=∠QBA如圖②
過點Q作QF⊥x軸于點F，則有△QBF∽△BAC，
∴

QF

BC

=

BF

AC

，
∴

a2- 3 2 a-1

5

=

2-a

5 2

，
解得a₁=-

5

2

，a₂=2（舍去），
當a=-

5

2

時，y=9，
∴點Q（-

5

2

，9），
綜上所述，滿足題目條件的點Q為（

5

2

，

3

2

）或（-

5

2

，9）．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的應用，二次函數的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數形結合是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握．