Question

【題目】如圖，在⊙O中，半徑OC垂直于弦AB，垂足為點D，點E在OC的延長線上，∠EAC＝∠BAC

(1)求證：AE是⊙O的切線；

(2)若AB＝8，cosE＝，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CD= 2．

【解析】

（1）連接OA，求出∠AOC=∠BAE，求出∠OAE=90°，根據切線的判定得出即可；

（2）根據垂徑定理求出AD，證明△ODA∽△OAE，得到∠OAD=∠E，根據正切的定義計算即可．

（1）證明：連接OA，

∵AB⊥OC，OC過O，
∴，
∴∠CAB=∠AOC，
∵∠EAC=∠BAC，
∴∠EAB=∠AOC，
∵OC⊥AB，
∴∠ODA=90°，
∴∠OAB+∠AOC=90°，
∴∠OAB+∠BAE=90°，
即OA⊥AE，
∵OA過點O，
∴AE是⊙O的切線；

（2）解：∵OD⊥AB，AB=8，

∴AD=AB=4，

∵∠OAE=∠ODA=90°，∠O=∠O，

∴△ODA∽△OAE，

∴∠OAD=∠E，

∵cosE=，

∴cos∠OAD=，

∴OA=5，

∴OD=3，

∴CD=OC-OD=5-3=2．