Question

【題目】如圖，二次函數（a≠0）的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，點B的坐標為（3，0），頂點C的坐標為（1，4）．

（1）求二次函數的解析式和直線BD的解析式；

（2）點P是直線BD上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M，當點P在第一象限時，求線段PM長度的最大值；

（3）在拋物線上是否存在異于B、D的點Q，使△BDQ中BD邊上的高為？若存在求出點Q的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），y=﹣x+3；（2）；（3）Q（﹣1，0）或（4，﹣5）．

【解析】試題（1）可設拋物線解析式為頂點式，由B點坐標可求得拋物線的解析式，則可求得D點坐標，利用待定系數法可求得直線BD解析式；

（2）設出P點坐標，從而可表示出PM的長度，利用二次函數的性質可求得其最大值；

（3）過Q作QG∥y軸，交BD于點G，過Q和QH⊥BD于H，可設出Q點坐標，表示出QG的長度，由條件可證得△DHG為等腰直角三角形，則可得到關于Q點坐標的方程，可求得Q點坐標．

試題解析：（1）∵拋物線的頂點C的坐標為（1，4），∴可設拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+4，∵點B（3，0）在該拋物線的圖象上，∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+4，即，∵點D在y軸上，令x=0可得y=3，∴D點坐標為（0，3），∴可設直線BD解析式為y=kx+3，把B點坐標代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直線BD解析式為y=﹣x+3；

（2）設P點橫坐標為m（m＞0），則P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=，∴當m=時，PM有最大值；

（3）如圖，過Q作QG∥y軸交BD于點G，交x軸于點E，作QH⊥BD于H，設Q（x，﹣x2+2x+3），則G（x，﹣x+3），∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°，∴∠HGQ=∠BGE=45°，當△BDQ中BD邊上的高為時，即QH=HG=，∴QG=×=4，∴|﹣x2+3x|=4，當﹣x2+3x=4時，△=9﹣16＜0，方程無實數根，當﹣x2+3x=﹣4時，解得x=﹣1或x=4，∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5）．

綜上可知存在滿足條件的點Q，其坐標為（﹣1，0）或（4，﹣5）．