Question

【題目】某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖為她們剌繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成的，小正方形數越多刺繡越漂亮．現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，研究發現第個圖案中共有個；小正方形．(為整數，且)

（1）請寫出第個圖案中有____個小正方形；

（2）猜想第個圖案和第個圖案中小正方形個數之差為

（3）證明（2）中的猜想．

Answer 1

【答案】（1）41；（2）4n；（3）見解析．

【解析】

（1）首先觀察給出的四個圖，可以得出正方體的個數分別為，，，總結一般性的規律，將一般性數列轉化為特殊的數列再求解．
（2）根據（1）得出的一般規律，可寫出第個圖案中正方形的個數，再與第個圖案中正方形的個數做差即可得解．
（3）利用數列的求和公式可得第個圖案中正方形的個數是：，利用此規律可寫出第個圖案中正方形的個數是，再讓它們做差即可得證．

（1）∵第一個圖案中正方形的個數是：

第二個圖案中正方形的個數是：

第三個圖案中正方形的個數是：

第四個圖案中正方形的個數是：

第個圖案中正方形的個數是：

∴第五個圖案中正方形的個數是：

故答案是：

（2）∵由（1）可知第個圖案中正方形的個數是：

第個圖案中正方形的個數是：

∴第個圖案和第個圖案中小正方形個數之差為

∴第個圖案和第個圖案中小正方形個數之差為

故答案是：

（3）證明：根據題意，得第個圖案中正方形的個數為

．

．

．

第個圖案和第個圖案中正方形個數之差為