Question

【題目】如圖，已知△ABC，AC＜AB．

(1) 用直尺和圓規(guī)作出一條過(guò)點(diǎn)A的直線l，使得點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在邊AB上(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)；

(2) 設(shè)直線l與邊BC的交點(diǎn)為D，且∠C=2∠B，請(qǐng)你通過(guò)觀察或測(cè)量，猜想線段AB、AC、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；(2)AB=AC+CD.

【解析】試題分析：（1）先作∠BAC的平分線l，再過(guò)點(diǎn)C作CF⊥l交AB于F，則可得到點(diǎn)C和F點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，所以l為所作；

（2）連結(jié)DF，如圖，利用等腰三角形的判定方法得到AF=AC，則AD垂直平分CF，所以DF=DC，則∠DCF=∠DFC，再利用三角形外角性質(zhì)得∠BDF=2∠DCF，接著證明∠B=2∠BCF，于是得到∠B=∠BDF，則FB=FD=CD，則易得AB=AF+FB=AC+CD．

試題解析：（1）如圖，直線l為所作；

（2）AB=AC+CD．理由如下：

連結(jié)DF，如圖，

∵AD平分∠BAC，AD⊥CF，

∴AF=AC，

∴AD垂直平分CF，

∴DF=DC，

∴∠DCF=∠DFC，

∴∠BDF=∠DCF+∠DFC=2∠DCF，

∵∠AFC=∠ACF，

∵∠AFC=∠B+∠BCF，

∴∠ACF=∠B+∠BCF，

∵∠ACB=2∠B，

∴2∠B-∠BCF=∠B+∠BCF，

∴∠B=2∠BCF，

∴∠B=∠BDF，

∴FB=FD，

∴FB=CD，

∴AB=AF+FB=AC+CD．