Question

【題目】已知：線段MN＝a．

（1）求作：邊長為a的正三角形ABC．（要求：尺規作圖，不寫作法但保留作圖痕跡）

（2）若a＝10cm．求（1）中正三角形ABC的內切圓的半徑．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）（1）中正三角形ABC的內切圓的半徑為5cm．

【解析】

（1）作以2a為斜邊，∠CBN=30°的Rt△BCN，一條直角邊BC為a，以B、C為邊作等邊三角形即可；（2）分別作CD⊥AB、BE⊥AC于點D、E，CD和BE相交于點O，根據等邊三角形的性質可得點O為△ABC內切圓的圓心，OD為半徑，BD=AB，利用勾股定理可求出CD的長，設OD＝x，在Rt△BOD中，利用勾股定理求出OD的長即可得答案.

（1）作射線BH，在BH上順次截取BM、MN，使BM=MN=a，分別以M、N為圓心，a為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接BC，分別以B、C為圓心，BC長為半徑畫弧，兩弧交于點A，連接BA、CA，△ABC即為所求作的正三角形．

（2）如圖：分別作CD⊥AB、BE⊥AC于點D、E，CD和BE相交于點O，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AD、BE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，

∴點O即為正三角形ABC的內切圓的圓心，OD即為內切圓的半徑．

∵a=10，

∴AB＝BC＝10，

∴BD＝AB＝5，

∴CD＝==15，

設OD＝x，

∵OD=OE，

∴OB＝OC＝15﹣x，

在Rt△BOD中，根據勾股定理，得

OB2＝OD2+BD2即（15﹣x）2＝x2+（5）2，

解得x＝5．

答：（1）中正三角形ABC的內切圓的半徑為5cm．