Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑為1，AB、CD都是它的直徑，∠AOD=60°，點P在劣弧上運動變化．

（1）問的大小隨點的變化而變化？若不變化，說明理由，若變化，求出其變化范圍；

（2）線段的長度大小隨點的變化而變化？若不變化，說明理由，若變化，求出其變化范圍．

Answer 1

【答案】（1）不會隨著點的變化而變化；理由見解析；（2）；

【解析】

（1）由于∠APC=∠AOC，而∠AOC=180°﹣60°=120°，所以∠APC=×120°=60°．

（2）先根據三角形AOD為等邊三角形，△DAC為直角三角形，得到AC=．當點P為的中點時，可分析出并求出PA+PC的最大值為；當點P與點D或點B重合，可分析出并求出PA+PC的最小值為3，由此得到PA+PC值的變化范圍．

（1）∠APC的大小不變化．理由如下：

∵∠APC=∠AOC，而∠AOC=180°﹣60°=120°，∴∠APC=×120°=60°，∴∠APC不會隨著點P的變化而變化；

（2）線段PA+PC的長度大小隨點P的變化而變化．

連AC，AD．

∵∠AOD=60°，OA=OD，∴三角形AOD為等邊三角形．

又∵CD為直徑，∴∠DAC=90°，則∠ACD=30°，且AO=1，因此AC=．

當點P為的中點時，點P到AC的距離的最大．此時三角形APC為正三角形，點P到AC的距離為×=，∴PA+PC的最大值為．

點P到AC的距離的最小值為1，當點P與點D或點B重合，點P到AC的距離的最小，最小值為1，此時PA+PC的值為3，因此，PA+PC值的變化范圍為3≤PA+PC．