Question

【題目】如圖，M，N是以AB為直徑的⊙O上的點，且弧AN＝弧BN，BM平分∠ABD，MC⊥BD于點C．

（1）求證：MC是⊙O的切線.

（2）若BC＝2，MC＝4，求⊙O的直徑.

（3）在（2）的條件下，求陰影部分的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的直徑為10；（3）陰影部分的周長為10+5+．

【解析】

（1）連接OM，根據等腰三角形的性質可得∠OMB＝∠OBM，由BM平分∠ABD，可得∠OBM＝∠DBM，即可證明∠OMB＝∠DBM，可得OM∥BC，根據平行線的性質可得∠OMC＝90°，即可證明MC是⊙O的切線；（2）利用勾股定理可求出MB的長，由AB是直徑可得∠AMB=90°，即可證明△ABM∽△MBC，根據相似三角形的性質即可求出AB的長；（3）根據圓周角定理可得AN=BN，由AB是直徑可得∠ANB=90°，可得△ANB是等腰直角三角形，即可求出∠ABN＝45°，進而可得∠AON=90°，即可求出BN的長和的長，進而可得陰影部分周長.

（1）如圖1，連接OM，

∵OM＝OB，

∴∠OMB＝∠OBM，

∵BM平分∠ABD，

∴∠OBM＝∠DBM，

∴∠OMB＝∠DBM，

∴OM∥BC，

∵MC⊥BD，

∴∠MCB＝90°，

∴∠OMC＝180°﹣∠MCB＝90°，

∴MC⊥OM，

∴MC是⊙O的切線.

（2）在Rt△MCB中，

MB＝＝＝2，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AMB＝90°＝∠MCB，

又∵∠ABM＝∠MBC，

∴△ABM∽△MBC，

∴，即，

∴AB＝10，

∴⊙O的直徑為10.

（3）如圖2，連接AN，ON，

∵，

∴AN＝BN，

又∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ANB＝90°，

∴△ANB是等腰直角三角形，

∴∠ABN＝45°，

∴∠AON＝90°，BN＝AB＝5，

∴＝，

∴AB+BN+＝10+5+，

∴陰影部分的周長為10+5+．