Question

【題目】如圖，射線AN上有一點B，AB＝5，tan∠MAN＝，點C從點A出發以每秒3個單位長度的速度沿射線AN運動，過點C作CD⊥AN交射線AM于點D，在射線CD上取點F，使得CF＝CB，連結AF．設點C的運動時間是t（秒）（t＞0）．

（1）當點C在點B右側時，求AD、DF的長．（用含t的代數式表示）

（2）連結BD，設△BCD的面積為S平方單位，求S與t之間的函數關系式．

（3）當△AFD是軸對稱圖形時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）AD＝5t，DF=t+5．（2）當0＜t＜時，S＝﹣6t2+10t．當t＞時，S＝6t2﹣10t．（3）t的值為或或．

【解析】

(1)利用勾股定理算出AD,表示出CB,即可表示出DF.

(2)分別討論0＜t＜時和t＞時,利用面積公式計算即可.

(3)分別討論當DF＝AD時的一種情況、當AF＝DF時的兩種情況.

解：（1）在Rt△ACD中，AC＝3t，tan∠MAN＝，

∴CD＝4t．

∴AD＝，

當點C在點B右側時，CB＝3t﹣5，

∴CF＝CB．

∴DF＝4t﹣（3t﹣5）＝t+5．

（2）當0＜t＜時，S＝（5﹣3t）4t＝﹣6t2+10t．

當t＞時，S＝（3t﹣5）4t＝6t2﹣10t．

（3）①如圖1中，當DF＝AD時，△ADF是軸對稱圖形．

則有5﹣3t﹣4t＝5t，解得t＝，

②如圖2中，當AF＝DF時，△ADF是軸對稱圖形．

作FH⊥AD．

∵FA＝DF，

∴AH＝DH＝t，

由cos∠FDH＝，可得，解得t＝．

③如圖3中，當AF＝DF時，△ADF是軸對稱圖形．

作FH⊥AD．

∵FA＝DF，

∴AH＝DH＝t，

由cos∠FDH＝，可得，解得t＝．

綜上所述，滿足條件的t的值為或或．