Question

【題目】一次函數y＝x的圖象如圖所示，它與二次函數y＝ax2－4ax＋c的圖象交于A、B兩點（其中點A在點B的左側），與這個二次函數圖象的對稱軸交于點C．

（1）求點C的坐標；

（2）設二次函數圖象的頂點為D．

①若點D與點C關于x軸對稱，且△ACD的面積等于3，求此二次函數的關系式；

②若CD＝AC，且△ACD的面積等于10，求此二次函數的關系式．

Answer 1

【答案】（1）點C（2， ）；（2）①y＝x2－x； ②y＝－x2＋2x＋．

【解析】試題分析：（1）求得二次函數y＝ax2－4ax＋c對稱軸為直線x＝2，把x＝2代入y＝x求得y=，即可得點C的坐標；（2）①根據點D與點C關于x軸對稱即可得點D的坐標，并且求得CD的長，設A（m， m） ，根據S△ACD＝3即可求得m的值，即求得點A的坐標，把A.D的坐標代入y＝ax2－4ax＋c得方程組，解得a、c的值即可得二次函數的表達式.②設A（m， m）（m<2），過點A作AE⊥CD于E，則AE＝2－m，CE＝－m，

根據勾股定理用m表示出AC的長，根據△ACD的面積等于10可求得m的值，即可得A點的坐標，分兩種情況：第一種情況，若a＞0，則點D在點C下方，求點D的坐標；第二種情況，若a＜0，則點D在點C上方，求點D的坐標，分別把A、D的坐標代入y＝ax2－4ax＋c即可求得函數表達式.

試題解析：（1）y＝ax2－4ax＋c＝a（x－2）2－4a＋c．∴二次函數圖像的對稱軸為直線x＝2．

當x＝2時，y＝x＝，∴C（2， ）．

（2）①∵點D與點C關于x軸對稱，∴D（2，－ ），∴CD＝3.

設A（m， m） （m<2），由S△ACD＝3，得×3×（2－m）＝3，解得m＝0，∴A（0，0）.

由A（0，0）、 D（2，－ ）得解得a＝，c＝0.

∴y＝x2－x.

②設A（m， m）（m<2），過點A作AE⊥CD于E，則AE＝2－m，CE＝－m，

AC＝＝（2－m），

∵CD＝AC，∴CD＝（2－m）.

由S△ACD＝10得×（2－m）2＝10，解得m＝－2或m＝6（舍去），∴m＝－2．

∴A（－2，－ ），CD＝5.

若a＞0，則點D在點C下方，∴D（2，－ ），

由A（－2，－ ）、D（2，－ ）得解得

∴y＝x2－x－3.

若a＜0，則點D在點C上方，∴D（2， ），

由A（－2，－ ）、D（2， ）得解得

∴y＝－x2＋2x＋.