Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與x軸的兩個交點分別為A（-3，0）、B（1，0），過頂點C作CH⊥x軸于點H.

（1）直接填寫：a= ，b= ，頂點C的坐標為 ；

（2）在y軸上是否存在點D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；

（3）若點P為x軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），PQ⊥AC于點Q，當△PCQ與△ACH相似時，求點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1） ；C（-1，4）；

（2）點D（0，3）或（0，1）；

（3） 或

【解析】

（1）將A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx+3求出即可，再利用平方法求出頂點坐標即可；
（2）首先證明△CED∽△DOA，得出y軸上存在點D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC為斜邊的直角三角形；
（3）首先求出直線CA的解析式為y=k1x+b1，再聯立兩函數解析式即可得出交點坐標，再利用若點P在對稱軸左側，只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．

解：（1）把A（-3，0）、B（1，0）分別代入y=ax2+bx+3，得

解得

則該拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3．
因為y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
所以頂點C的坐標為（-1，4）；
（2）如圖1，假設在y軸上存在滿足條件的點D，過點C作CE⊥y軸于點E．
由∠CDA=90°得∠1+∠2=90°．

又∵∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1，
又∵∠CED=∠DOA=90°，
∴△CED∽△DOA，

設D（0，c），
則

變形，得c2-4c+3=0，
解得c1=3，c2=1．
綜合上述：在y軸上存在點D（0，3）或（0，1），使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形．
（3）①若點P在對稱軸右側（如圖2），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．

延長CP交x軸于M，

∴AM=CM，
∴AM2=CM2．
設M（m，0），則（m+3）2=42+（m+1）2，
∴m=2，即M（2，0）．
設直線CM的解析式為y=k1x+b1，
則

∴直線CM的解析式

聯立

解得或（舍去）．

②若點P在對稱軸左側（如圖3），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．
過A作CA的垂線交PC于點F，作FN⊥x軸于點N．

由△CFA∽△CAH得

∴AN=2，FN=1，CH=4，HO=1，則AH=2，
∴點F坐標為（-5，1）．
設直線CF的解析式為y=k2x+b2，則

解得

∴直線CF的解析式

聯立

解得或（舍去）

∴滿足條件的點P坐標為或