Question

如圖，拋物線y₁=a（x+2）²-3與y₂=

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（x-3）²+1交于點A（1，3），過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B，C 則以下結論：①無論x取何值，y₂的值總是正數；②a=1；③y₁與y₂共有三個交點；④2AB=3AC；其中正確結論有（　　）個．

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：二次函數圖象與幾何變換

專題：

分析：根據與y₂=

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（x-3）²+1的圖象在x軸上方即可得出y₂的取值范圍；把A（1，3）代入拋物線y₁=a（x+2）²-3即可得出a的值；根據兩函數的解析式直接得出AB與AC的關系即可．

解答：解：①∵拋物線y₂=

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（x-3）²+1開口向上，頂點坐標在x軸的上方，
∴無論x取何值，y₂的值總是正數，故①正確；
②把A（1，3）代入，拋物線y₁=a（x+2）²-3得，3=a（1+2）²-3，解得a=

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，故②錯誤；
③由②知，a=

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3

則

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3

（x+2）²-3=

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（x-3）²+1，
整理，得
x²+34x-35=0．
則△=34²-4×1×（-35）=1296＞0，
則y₁與y₂共有2個交點．
故③錯誤．
④∵物線y₁=a（x+2）²-3與y₂=

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（x-3）²+1交于點A（1，3），
∴y₁的對稱軸為x=-2，y₂的對稱軸為x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故④正確．
綜上所述，正確的結論是①④，共2個．
故選：B．

點評：本題考查的是二次函數的性質，根據題意利用數形結合進行解答是解答此題的關鍵，同時要熟悉二次函數圖象上點的坐標特征．