Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E是AB邊上一點，且AE＝2，點F是邊BC上的任意一點，把△BEF沿EF翻折，點B的對應點為G，連接AG，CG，則四邊形AGCD的面積的最小值為_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

先確定出EG⊥AC時,四邊形AGCD的面積最小,再用銳角三角函數求出點G到AC的距離,最后用面積之和即可得出結論．

解:∵四邊形ABCD是矩形,

∴CD＝AB＝3,AD＝BC＝4,∠ABC＝∠D＝90°,根據勾股定理得,AC＝5,

∵AB＝3,AE＝2,

∴點F在BC上的任何位置時,點G始終在AC的下方,

設點G到AC的距離為h,

∵S四邊形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6,

∴要四邊形AGCD的面積最小,即h最小,

∵點G是以點E為圓心,BE＝1為半徑的圓上在矩形ABCD內部的一部分點,

∴EG⊥AC時,h最小,即點E,點G,點H共線．

由折疊知∠EGF＝∠ABC＝90°,

延長EG交AC于H,則EH⊥AC,

在Rt△ABC中,sin∠BAC＝,

在Rt△AEH中,AE＝2,sin∠BAC＝=,

∴EH＝,AE＝,

∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝,

∴S四邊形AGCD最小＝h+6＝+6＝.

故答案為:．