Question

8．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx-3的圖象與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）D是線段BC上的一個動點，過D點作y軸的平行線交拋物線于點N，求線段DN長度的最大值；
（3）該拋物線的頂點為M，探究坐標軸上是否存在點P，使得以點P，A，C為頂點的三角形與△BCM相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A和B點代入y=ax²+bx-3得關于a和b的方程組，然后解方程組即可得到拋物線解析式；
（2）先確定C（0，-3），再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x-3，則可設D（t，t-3），N（t，t²-2t-3），然后表示出DN得到DN═-t²+3t，然后根據二次函數(shù)的性質解決問題；
（3）把進行配成頂點式得到M（1，-4），再利用勾股定理的逆定理判斷△BCM為直角三角形，∠BMC=90°，然后分類討論：若點P在x軸上，當∠APC=90°，即點P在原點時易得△AOC∽△MCB，此時P點坐標為（0，0）；當∠ACP=90°，利用$\frac{AP}{BM}$=$\frac{AC}{CM}$可判斷△CPA∽△CBM，即$\frac{AP}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$，求出AP即可得到此時P點坐標；若P點在y軸上，當∠APC=90°時，P點在原點滿足條件，當∠PAC=90°時，$\frac{PC}{BM}$=$\frac{AC}{BC}$，△APC∽△CMB，利用$\frac{PC}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}$可判斷△APC∽△CMB，求出PC即可得到此時P點坐標．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx-3得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以拋物線的解析式為y=x²-2x-3；
（2）如圖1，當x=0時，y=x²-2x-3=3，則C（0，-3），
設直線BC的解析式為y=mx+n，
把C（0，-3），B（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=-3}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
所以直線BC的解析式為y=x-3，
設D（t，t-3），則N（t，t²-2t-3），
所以DN=t-3-（t²-2t-3）=-t²+3t=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
當t=$\frac{3}{2}$時，DN有最大值$\frac{9}{4}$；
（3）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，則M（1，-4），
∵BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CM=$\sqrt{{1}^{2}+（-3+4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，BM=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0+4）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BC²+CM²=BM²，
∴△BCM為直角三角形，∠BMC=90°，
若點P在x軸上，
當∠APC=90°，即點P在原點時，
∵$\frac{OA}{CM}$=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴△AOC∽△MCB，此時P點坐標為（0，0）；
當∠ACP=90°，$\frac{AP}{BM}$=$\frac{AC}{CM}$，△CPA∽△CBM，即$\frac{AP}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$，解得AP=10，此時P（9，0）；
若P點在y軸上，
當∠APC=90°時，P點在原點滿足條件，
當∠PAC=90°時，$\frac{PC}{BM}$=$\frac{AC}{BC}$，△APC∽△CMB，
即$\frac{PC}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}$，解得PC=$\frac{10}{3}$，則OC=$\frac{1}{3}$，此時P點坐標為（0，$\frac{1}{3}$），
綜上所述，P點坐標為（0，0），（0，$\frac{1}{3}$），（9，0）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)的性質；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；熟練運用相似三角形的知識求線段的長；理解坐標與圖形性質；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．