Question

【題目】如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經過點B．

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數表達式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，動點M相應的位置記為點M′．

①寫出點M′的坐標；

②將直線l繞點A按順時針方向旋轉得到直線l′，當直線l′與直線AM′重合時停止旋轉，在旋轉過程中，直線l′與線段BM′交于點C，設點B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2，當d1+d2最大時，求直線l′旋轉的角度（即∠BAC的度數）．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）S=-m2+m，最大值為；（3）①（，），②45°.

【解析】

試題分析：（1）先求出B點坐標，再把B點坐標代入即可求二次函數解析式；（2）根據M的位置可確定0＜m＜3，過點M作ME⊥y軸于點E，交AB于點D，可設M的坐標為（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S與m的函數關系式，最大值也可求出.（3）①把m=代入二次函數解析式，可求出M′的坐標，②過點M′作直線l1∥l′，過點B作BF⊥l1于點F，則BF=d1+d2，當BF最大時可求出旋轉角.

試題解析： （1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，

∴a=﹣1，∴二次函數解析式為：y=﹣x2+2x+3；（2）當y=0時，0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴拋物線與x軸的交點橫坐標為﹣1和3，∴0＜m＜3，過點M作ME⊥y軸于點E，交AB于點D，由題意知：M的坐標為（m，﹣m2+2m+3），∴D的縱坐標為：﹣m2+2m+3，∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，∴x=，∴D的坐標為（，﹣m2+2m+3），∴DM=m﹣=，∴S=DMOB=××3=-m2+m=-（m-）2+，S最大值為；（3）①由（2）可知：M′的坐標為（，）；②過點M′作直線l1∥l′，過點B作BF⊥l1于點F根據題意知：d1+d2=BF，∵∠BFM′=90°，∴點F在以BM′為直徑的圓上，設直線AM′與該圓相交于點H，∵點C在線段BM′上，∴F在優弧BM′H上，∴當F與M′重合時，BF可取得最大值，此時BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（，），∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，過點M′作M′G⊥AB于點G，設BG=x，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，∴ ﹣（﹣x）2=﹣x2，∴x=，

cos∠M′BG= ，∵l1∥l′，∴∠BCA=90°，∠BAC=45°.