Question

【題目】已知拋物線y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的圖象與y軸交于點A（0，﹣2），頂點為B．

（1）試確定a的值，并寫出B點的坐標；

（2）若一次函數的圖象經過A、B兩點，試寫出一次函數的解析式；

（3）試在x軸上求一點P，使得△PAB的周長取最小值；

（4）若將拋物線平移m（m≠0）個單位，所得新拋物線的頂點記作C，與原拋物線的交點記作D，問：點O、C、D能否在同一條直線上？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=1，B（1，-3）；（2）y=-x-2；（3）P（，0）；（4）能，m=2或-3.

【解析】

試題分析：（1）把A點坐標代入解析式中可求得a值，根據頂點式可寫出B點坐標；（2）由（1）可知A、B坐標，直線AB解析式可求出；（3）找出A點關于x軸對稱點E，連接BE交x軸于點P.求出BE解析式即可求出點P坐標；（4）如圖2，設拋物線向右平移m（若m＞0表示向右平移，若m＜0表示向左平移）個單位，得到新的拋物線的頂點C（1+m，﹣3），可求出直線OC解析式，解新舊拋物線聯立方程組求得交點D坐標為（， ），把D坐標代到OC解析式中得到m=2或m=﹣3，即可得到結論．

試題解析： （1）把A（0，﹣2）代入y=a（x﹣1）2﹣3得﹣2=a（0﹣1）2﹣3，解得：a=1，∴y=（x﹣1）2﹣3，∴B（1，﹣3）；（2）設一次函數的解析式為y=kx+b，將A、B兩點的坐標代入得：，

解得，∴一次函數的解析式為y=﹣x﹣2；（3）A點關于x軸的對稱點記作E，則E（0，2），

如圖1，連接EB交x軸于點P，則P點即為所求，設直線BE的解析式為y=px+q，則 ，解得，∴直線BE：y=﹣5x+2，當y=0時，0=-5x+2，解得x=-.∴P（，0）；（4）如圖2，設拋物線向右平移m（若m＞0表示向右平移，若m＜0表示向左平移）個單位，則所得新的拋物線的頂點C（1+m，﹣3），∴直線OC的解析式為，∴新拋物線解析式為 y=（x﹣1﹣m）2﹣3，解 ，得，∴兩拋物線的交點D（， ），代入直線OC解析式中得，解得：m=2或m=﹣3，∴O、C、D三點能夠在同一直線上，

此時m=2或m=﹣3．