Question

【題目】在等邊△ABC中，以BC為弦的⊙O分別與AB，AC交于點D和E，點F是BC延長線上一點，CF＝AE，連接EF．

（1）如圖1，BC為直徑，求證：EF是⊙O的切線；

（2）如圖2，EF與⊙O交于點G，⊙O的半徑為1，BC的長為π，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）只要證明OE⊥EF即可；（2）如圖2中，連接OB、OC、OE作CH⊥OB交BO的延長線于H．首先利用弧長公式求出∠BOC，解直角三角形求出BC、EC的長即可解決問題；

解：（1）證明：如圖1中，連接BE、OE．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，

∵BC是直徑，

∴∠BEC＝90°，

∴BE⊥AC，

∵BA＝BC，

∴AE＝EC＝CF，

∴∠F＝∠CEF，

∵∠BCE＝∠F+∠CEF＝60°，

∴∠CEF＝∠F＝30°，

∵OE＝OC，∠OCE＝60°，

∴△OEC是等邊三角形，

∴∠OEC＝60°，

∴∠OEF＝60°+30°＝90°．

∴OE⊥EF．

∴EF是⊙O的切線．

（2）解：如圖2中，連接OB、OC、OE作CH⊥OB交BO的延長線于H．

∵的長＝，

∴n＝150°，

∴∠BOC＝150°，∠OBC＝∠OCB＝15°，∠COH＝30°，

在Rt△OCH中，CH＝OC＝，OH＝，

∴BC＝ ，

∵∠ECO＝∠ACB﹣∠OCB＝45°，

∴EC＝，

∴AE＝CF＝ ，

∴BF＝

．