Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，連接DF，分析下列四個結論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= ；正確的是（ ）
A.4個
B.3個
C.2個
D.1個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：如圖，過D作DM∥BE交AC于N， ∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于點F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正確；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ = ，
∵AE= AD= BC，
∴ = ，
∴CF=2AF，故②正確；
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四邊形BMDE是平行四邊形，
∴BM=DE= BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正確；
設AE=a，AB=b，則AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有 = ，即b= a，
∴tan∠CAD= = = ．故④錯誤；
故選B．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解矩形的性質的相關知識，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．