Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D.

（1）直接寫出A、B、C三點的坐標和拋物線的對稱軸；

（2）連接，與拋物線的對稱軸交于點，點為線段上的一個動點，過點作PF∥DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m；

①用含m的代數式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？

②設△BCF的面積為S，求S與m的函數關系式，S是否有最大值？如有，請求出最大值，沒有請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)，拋物線對稱軸為直線x=1 ；（2）①PF=m2+3m，m=2；②S=；當m=時，S取得最大值為.

【解析】試題分析：（1）已知了拋物線的解析式，當y=0時可求出A，B兩點的坐標，當x=0時，可求出C點的坐標．根據對稱軸x= 可得出對稱軸的解析式；（2）①根據B，C的坐標求出BC所在直線的解析式，然后將m分別代入直線BC和拋物線的解析式中，求得出兩函數的值的差就是PF的長．根據直線BC的解析式，可得出E點的坐標，根據拋物線的解析式可求出D點的坐標，求出DE的長，然后讓PF=DE，即可求出此時m的值．②根據△BCF的面積=△PFC的面積+△PFB的面積，即可求出關于S、m的函數關系式，利用二次函數的性質求得最大值即可．

試題解析：

(1)A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，拋物線對稱軸為直線x=1；

(2)①設直線BC的函數解析式為y=kx+b，

把B(3,0)，C(0,3)分別代入得：

，

解得：k=1，b=3，

∴直線BC的解析式為y=x+3，

當x=1時，y=1+3=2，

∴E(1,2)，

當x=m時，y=m+3，

∴P(m,m+3)，

令y=x2+2x+3中x=1，得到y=4，∴D(1,4)，

當x=m時，y=m2+2m+3，∴F(m,m2+2m+3)，

∴線段DE=42=2，

∵0<m<3，∴線段PF=m2+2m+3(m+3)=m2+3m，

連接DF，由PF∥DE，得到當PF=DE時，四邊形PEDF為平行四邊形，

由m2+3m=2,得到m=2或m=1(不合題意,舍去)，

則當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形；

②連接BF、CF,設直線PF與x軸交于點M,由B(3,0) ,O(0,0)，

可得OB=OM+MB=3，

∵S=S△BPF+S△CPF=PFBM+PFOM=PF(BM+OM)= PFOB，

∴S=×3(m2+3m)= m2+m= (0<m<3)，

則當m=時，S取得最大值為 .