Question

【題目】在平面直角坐標系XOY中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A（﹣2，0），B（8，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點C是拋物線與y軸的交點，連接BC，設點P是拋物線上在第一象限內的點，PD⊥BC，垂足為點D．

①是否存在點P，使線段PD的長度最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

②當△PDC與△COA相似時，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當P（4，6）時，PD的長度最大，最大值是；②當△PDC與△COA相似時，點P的坐標為（6，4）或（3， ）．

【解析】

（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c，即可求解；

（2）①在Rt△PDE中，PD＝PEsin∠PED＝PEsin∠OCB＝PE，即可求解；②分∠PCD＝∠CBO、∠PCD＝∠BCO兩種情況，分別求解．

（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c，，解得：，

∴拋物線的解析式為：；

（2）由（1）知C（0，4），∵B（8，0），

將點B、C的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線BC的解析式為：y＝﹣x+4，

①如圖1，過P作PG⊥x軸于G，PG交BC于E，

Rt△BOC中，OC＝4，OB＝8，

∴BC＝，

在Rt△PDE中，PD＝PEsin∠PED＝PEsin∠OCB＝PE，

∴當線段PE最長時，PD的長最大，

設P（t，），則E（t，﹣t+4），

∴PE＝PG﹣EG＝，（0＜t＜8），

當t＝4時，PE有最大值是4，此時P（4，6），

∴PD═，

即當P（4，6）時，PD的長度最大，最大值是；

②∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），

∴OA＝2，OB＝8，OC＝4，

∴AC2＝22+42＝20，AB2＝（2+8）2＝100，BC2＝42+82＝80，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∴△COA∽△BOC，

當△PDC與△COA相似時，就有△PDC與△BOC相似，

∵相似三角形的對應角相等，

∴∠PCD＝∠CBO或∠PCD＝∠BCO，

（I）若∠PCD＝∠CBO時，即Rt△PDC∽Rt△COB，

此時CP∥OB，

∵C（0，4），

∴yP＝4，

∴＝4，

解得：x1＝6，x2＝0（舍），

即Rt△PDC∽Rt△COB時，P（6，4）；

（II）若∠PCD＝∠BCO時，

即Rt△PDC∽Rt△BOC，

如圖2，過P作x軸的垂線PG，交直線BC于F，

∴PF∥OC，

∴∠PFC＝∠BCO，

∴∠PCD＝∠PFC，

∴PC＝PF，

設P（n，），則PF＝﹣n2+2n，

過P作PN⊥y軸于N，

Rt△PNC中，PC2＝PN2+CN2＝PF2，

∴n2+（﹣4）2＝（﹣n2+2n）2，

解得：n＝3，

即Rt△PDC∽Rt△BOC時，P（3，）；

綜上所述，當△PDC與△COA相似時，點P的坐標為（6，4）或（3，）．