Question

3．已知：b是最大的負整數，且a，b，c滿足|a+b|+（4-c）²⁰¹⁶=0，試回答問題：
（1）請直接寫出a，b，c的值；
（2）若a，b，c所對應的點分別為A，B，C，點P為一動點，其對應的數為x，點P在0到1之間運動時（即0≤x≤1），請化簡式子：|x+1|-|1-x|+2|x-4|；
（3）在（1）、（2）的條件下，點A、B、C開始在數軸上運動，若點A以每秒2個單位長度的速度向左運動，同時，點B和C分別以每秒3個單位長度和8個單位長度的速度向右運動，假設t秒后，若點B與點C之間的距離表示為BC，點A與B之間的距離表示為AB．請問：AB-BC的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．

Answer 1

分析 （1）根據b是最大的負整數，即可得出b的值，再根據絕對值及偶次方的非負性即可得出a、c的值；
（2）分析當0≤x≤1時，x+1、1-x、x-4的正負，去掉絕對值符號即可得出結論；
（3）找出運動時間為t時，點A、B、C對應的數，再根據兩點間的距離公式找出AB、BC的長度，二者做差后即可得出結論．

解答 解：（1）∵b是最大的負整數，|a+b|+（4-c）²⁰¹⁶=0，
∴b=-1，a=-b=1，c=4，
（2）∵0≤x≤1，
∴x+1＞0，1-x≥0，x-4＜0，
∴|x+1|-|1-x|+2|x-4|=x+1-（1-x）+2（4-x）=8．
（3）AB-BC的值隨著時間t的變化而改變，理由如下：
運動時間為t時，點A對應的數為1-2t，點B對應的數為3t-1，點C對應的數為8t+4，
∴AB=|1-2t-（3t-1）|=|5t-2|，BC=|8t+4-（3t-1）|=|5t+5|，
∴AB-BC=|5t-2|-|5t+5|．
當0≤t＜$\frac{2}{5}$時，AB-BC=2-5t-（5t+5）=-3-10t；
當$\frac{2}{5}$≤t時，AB-BC=5t-2-（5t+5t）=-7．
綜上所述：AB-BC的值隨著時間t的變化而改變．

點評 本題考查了有理數、絕對值和偶次方的非負性以及數軸，根據點的運動規則找出t秒后點對應的數是解題的關鍵．