Question

【題目】設、、為實數，且，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，且拋物線的頂點在直線上.若是直角三角形，則面積的最大值是（ ）.

A.1B.

C.2D.3

Answer 1

【答案】A

【解析】

先根據已知條件設出拋物線與x軸的交點，由射影定理的逆定理可求出c2＝（x1）x2＝x1x2，由根與系數的關系及拋物線的頂點坐標可求出4a＝4＋b2，且a≥1，再由三角形的面積公式及a的取值范圍可求出其最大面積．

設y＝ax2＋bx＋c交y軸于點C（0，c），c≠0，交x軸于點A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，

由△ABC是直角三角形知，點C必為直角頂點，且c2＝（x1）x2＝x1x2（射影定理的逆定理），

由根與系數的關系得，x1＋x2＝，x1x2＝，

所以c2＝，c＝，

又＝1，即4a＝4＋b2，且a≥1，

所以S△ABC＝|c||x1x2|＝ (x1＋x2)24x1x2，

＝，

＝≤1，

當且僅當a＝1，b＝0，c＝1時等號成立，因此，Rt△ABC的最大面積是1．

故選：A．