Question

【題目】如圖，某二次函數的圖象是一條頂點為P(4．-4)的拋物線，它經過原點和點A，它的對稱軸交線段

OA于點M．點N在對移軸上，且點M、N關于點P對稱，連接AN，ON

（1）求此二次函數的解析式：

（2）若點A的坐標是(6，-3)．，請直接寫出MN的長

（3）若點A在拋物線的對稱軸右側運動時，則∠ANM與∠ONM有什么數量關系？并證明．

Answer 1

【答案】（1）y=（x-4）2-4；（2）4；（3）∠ANM=∠ONM，理由見解析

【解析】

（1）根據二次函數圖象的頂點設出二次函數的關系式，再很據二次函數圖象經過原點，求出a的值，即可得出二次函數的關系式；

（2）設直線OA的解析式為y=kx，將A點代入，求出直線OA的解析式，再把x=4代入y=-x，求出M的坐標，根據點M、N關于點P對稱，求出N的坐標，從而得出MN的長；

（3）過A作AH垂直于直線l，直線l與x軸交于點D，由A在二次函數圖象上，設A橫坐標為m，將x=m代入二次函數解析式，表示出縱坐標，確定出A的坐標，再由O的坐標，表示出直線AO的解析式，進而表示出M，N及H的坐標，得出OD，ND，HA，及NH，在直角三角形OND中，利用銳角三角函數定義表示出tan∠ONM，在直角三角形ANH中，利用銳角三角函數定義表示出tan∠ANM，化簡后得到tan∠ONM=tan∠ANM，可得出∠ONM=∠ANM，得證．

解：（1）∵二次函數圖象的頂點為P（4，-4），

∴設二次函數的關系式為y=a（x-4）2-4，

又∵二次函數圖象經過原點（0，0），

∴0=a（0-4）2-4，

解得a=，

∴二次函數的關系式為y=（x-4）2-4；

（2）設直線OA的解析式為y=kx，將A（6，-3）代入得-3=6k，解得k=-，

∴直線OA的解析式為y=-x，

把x=4代入y=-x得y=-2，

∴M的坐標是（4，-2），

又∵點M、N關于點P對稱，

∴N的坐標是（4，-6），

∴MN=4，

（3）過A作AH⊥l于H，l與x軸交于點D，如圖所示：

設A（m，m2-2m），又O（0，0），

∴直線AO的解析式為y=

則M（4，m-8），N（4，-m），H（4，m2-2m），

∴OD=4，ND=m，HA=m-4，NH=ND-HD=m2-m，

在Rt△OND中，tan∠ONM=，

在Rt△ANH中，tan∠ANM=

∴tan∠ONM=tan∠ANM，

則∠ANM=∠ONM．