Question

【題目】如圖,已知A(3，0),B(0，-1)，連接AB,過(guò)B點(diǎn)作AB的垂線段,使BA=BC,連接AC.

(1)如圖1，求C點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如圖2,若P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā),沿x軸向左平移,連接BP,作等腰直角三角形△BPQ,連接CQ.求證:PA=CQ.

(3)在(2)的條件下,若C、P、Q三點(diǎn)共線,求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)及∠APB的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）C（1，-4）．（2）證明見(jiàn)解析；（3）∠APB=135°，P（1，0）．

【解析】試題分析：（1）過(guò)C作CD⊥Y軸于D，證出△ABO≌△BCD，再由OB=DC，OA=DB得出C（1，-4）；

（2）證出△APB≌△CQB，進(jìn)而得出PA=CQ；

（3）由C、P、Q三點(diǎn)共線，得∠CQB=135°，即∠APB=135°，進(jìn)而∠OPB=45°，得P（1，0）．

試題解析：（1）過(guò)C作CD⊥Y軸于D，

∴∠AOB=∠BDC=90°， ∠2+∠3=90°，

∵BC⊥AB，

∴∠1+∠3=90°，

∴∠1=∠2，

在△ABO和△BCD中， ，

∴△ABO≌△BCD，

∴OB=DC， OA=DB

∴C（1，-4）；

（2）∵∠ABQ+∠QBC=∠PBA+∠ABQ=90°，

∴∠QBC=∠PBA，

在△APB和△CQB中， ，

∴△APB≌△CQB，（AAS）

∴AP=CQ；

（2）∵△APB≌△CQB，

∴∠APB=∠CQB，

∵由C、P、Q三點(diǎn)共線，

∴∠CQB=135°，即∠APB=135°，

∴∠OPB=45°，

∴P（1，0）．