Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD＝3厘米，AB＝a厘米(a>3)．動點M，N同時從B點出發，分別沿B→A，B→C運動，速度是1厘米/秒．過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q．當點N到達終點C時，點M也隨之停止運動．設運動時間為t秒．

(1)若a＝4厘米，t＝1秒，則PM＝______厘米；

(2)若a＝5厘米，求時間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；

(3)若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）；（2）2∶3；（3）3<a≤6．

【解析】

（1）由題意可知，t＝1秒時，BN=BM=1，又因為PM⊥BC，所以△ANB∽△APM，根據相似三角形的性質，即可求得PM；（2）根據題意，當△PNB∽△PAD時，對應邊之比等于高之比，即進而可以求出時間t以及相似比；（3）設BN=t，則0，則BM=t，再用t表示出PM，就可以用t表示出兩個梯形的面積，求出t的值，進而求出a的取值范圍．

解：(1)當t＝1時，MB＝1，NB＝1，AM＝4－1＝3，

∵PM∥BN，

∴△ANB∽△APM，

∴，

∴PM＝．

(2)作出△PNB和△PAD，則BM和AM分別是它們的高，

若△PNB∽△PAD，則，

即，解得t=2，

即t＝2時，使得△PNB∽△PAD，

∴相似比為2∶3．

(3)∵PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP＝∠ABC，△AMP∽△ABN，

∴，即，

∴，

∴，

當梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等時，

即，

化簡得t＝，

∵t3，

∴，則a6，

∴3a6．