Question

某數學興趣小組對線段上的動點問題進行探究，已知AB=8.
問題思考：
如圖1，點P為線段AB上的一個動點，分別以AP、BP為邊在同側作正方形APDC與正方形PBFE.
（1）在點P運動時，這兩個正方形面積之和是定值嗎？如果時求出；若不是，求出這兩個正方形面積之和的最小值.
（2）分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點A，當點P運動時，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由.

問題拓展：
（3）如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ=8.若點P從點A出發，沿A→B→C→D的線路，向D點運動，求點P從A到D的運動過程中，PQ的中點O所經過的路徑的長。
(4)如圖（3），在“問題思考”中，若點M、N是線段AB上的兩點，且AM=BM=1，點G、H分別是邊CD、EF的中點.請直接寫出點P從M到N的運動過程中，GH的中點O所經過的路徑的長及OM+OB的最小值.
   

Answer 1

（1）當x=4時，這兩個正方形面積之和有最小值，最小值為32；
（2）存在兩個面積始終相等的三角形，圖形見解析；
（3）PQ的中點O所經過的路徑的長為6π；
（4）點O所經過的路徑長為3，OM+OB的最小值為．

試題分析：（1）設AP=x，則PB=1-x，根據正方形的面積公式得到這兩個正方形面積之和=x²+（8-x）²，配方得到2（x-4）²+32，然后根據二次函數的最值問題求解；
（2）根據PE∥BF求得PK=，進而求得DK=PD-PK=a-=，然后根據面積公式即可求得；
（3）PQ的中點O所經過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90°的圓弧；
（4）GH中點O的運動路徑是與AB平行且距離為3的線段XY上，然后利用軸對稱的性質，求出OM+OB的最小值．
試題解析：（1）當點P運動時，這兩個正方形的面積之和不是定值．
設AP=x，則PB=8-x，
根據題意得這兩個正方形面積之和=x²+（8-x）²=2x²-16x+64=2（x-4）²+32，
所以當x=4時，這兩個正方形面積之和有最小值，最小值為32；
（2）存在兩個面積始終相等的三角形，它們是△APK與△DFK．
依題意畫出圖形，如圖所示．

設AP=a，則PB=BF=8-a．
∵PE∥BF，
∴，
即，
∴PK=，
∴DK="PD-PK=" a-=，
∴S_△APK=PK•PA=••a=，S_△DFK=DK•EF=••（8-a）=，
∴S_△APK=S_△DFK；
（3）當點P從點A出發，沿A→B→C→D的線路，向點D運動時，不妨設點Q在DA邊上，
若點P在點A，點Q在點D，此時PQ的中點O即為DA邊的中點；
若點Q在DA邊上，且不在點D，則點P在AB上，且不在點A．
此時在Rt△APQ中，O為PQ的中點，所以AO=PQ=4．
所以點O在以A為圓心，半徑為4，圓心角為90°的圓弧上．
PQ的中點O所經過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90°的圓弧，如圖所示：

所以PQ的中點O所經過的路徑的長為：×2π×4=6π；
（4）點O所經過的路徑長為3，OM+OB的最小值為．
如圖，分別過點G、O、H作AB的垂線，垂足分別為點R、S、T，則四邊形GRTH為梯形．

∵點O為中點，
∴OS=（GR+HT）=（AP+PB）=4，即OS為定值．
∴點O的運動路徑在與AB距離為4的平行線上．
∵MN=6，點P在線段MN上運動，且點O為GH中點，
∴點O的運動路徑為線段XY，XY=MN=3，XY∥AB且平行線之間距離為4，點X與點A、點Y與點B之間的水平距離均為2.5．
如圖，作點M關于直線XY的對稱點M′，連接BM′，與XY交于點O．

由軸對稱性質可知，此時OM+OB=BM′最小．
在Rt△BMM′中，由勾股定理得：BM′=．
∴OM+OB的最小值為．