Question

8．如圖，在平面直角坐標系中，已知Rt△ABO的頂點B在x軸正半軸上，∠AOB=30?，OA=2$\sqrt{3}$，C（$\frac{1}{2}$，0），P 為OA上的一個動點，
（1）求點A的坐標；
（2）求PB+PC的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形30度角性質以及勾股定理求出OB、AB即可．
（2）作B關于直線OA的對稱點B′，連接B′C交OA于點P，此時PC+PB最小，連接OB′．求出點B′坐標，利用兩點間距離公式計算即可．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，
∵∠AOB=30°，OA=2$\sqrt{3}$，∠ABO=90°，
∴AB=$\frac{1}{2}$OA=$\sqrt{3}$，
∴OB=$\sqrt{O{A}^{2}-A{B}^{2}}$=3，
∴A（3，$\sqrt{3}$）．

（2）作B關于直線OA的對稱點B′，連接B′C交OA于點P，此時PC+PB最小，連接OB′．

∵OB=OB′，∠BOB′=2∠AOB=60°，
∴△BOB′是等邊三角形，易知B′（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∵PB=PB′，
∴PB+PC=PC+PB′=CB′=$\sqrt{（\frac{3}{2}-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$，
∴PB+PC的最小值為$\frac{\sqrt{31}}{2}$．

點評 本題考查軸對稱-最短問題、坐標與圖形、直角三角形30度角性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．