Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，OD⊥AC，垂足為D點，直線OD與⊙O相交于E，F兩點，P是⊙O外一點，P在直線OD上，連接PA，PB，PC，且滿足∠PCA＝∠ABC

（1）求證：PA＝PC；

（2）求證：PA是⊙O的切線；

（3）若BC＝8，，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）DE＝8．

【解析】

（1）根據垂徑定理可得AD＝CD，得PD是AC的垂直平分線，可判斷出PA＝PC；

（2）由PC＝PA得出∠PAC＝∠PCA，再判斷出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判斷出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠PAC＝90°，即可得出結論；

（2）根據AB和DF的比設AB＝3a，DF＝2a，先根據三角形中位線可得OD＝4，從而得結論．

（1）證明∵OD⊥AC，

∴AD＝CD，

∴PD是AC的垂直平分線，

∴PA＝PC，

（2）證明：由（1）知：PA＝PC，

∴∠PAC＝∠PCA．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠CBA＝90°．

又∵∠PCA＝∠ABC，

∴∠PCA+∠CAB＝90°，

∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，

∴PA是⊙O的切線；

（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，

∴OD∥BC，OD＝BC＝＝4，

∵，

設AB＝3a，DF＝2a，

∵AB＝EF，

∴DE＝3a﹣2a＝a，

∴OD＝4＝﹣a，

a＝8，

∴DE＝8．