Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F在對角線AC上，且AE=CF。

（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；

（2）若DE=3，CD=4，∠EDC=90°，當四邊形DEBF是菱形時，AE的長為多少？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

(1)本題中，連接BD交AC于O，則可知OB=OD，OA=OC，又AE=CF，所以OE=OF，然后依據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明．

(2)因為DE=3，CD=4，∠EDC=90°，由勾股定理得5，再根據菱形的對角線互相平分和面積公式計算出，再根據勾股定理解得，即可解答.

證明：（1）如圖，連接BD，與AC相交于點O

∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴OB=OD.OA=OC

∵AE=CF

∴OE=OF

∴四邊形DEBF為平行四邊形.

（2）在RtΔCDE中

∵四邊形DEBF為菱形

∴BD⊥EF

∴.

∴

∴

∴.