Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象經過點A（-3，6），并與x軸交于點B（-1，0）和點C，頂點為點P．

（1）求這個二次函數解析式；

（2）設D為x軸上一點，滿足∠DPC=∠BAC，求點D的坐標；

（3）作直線AP，在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，在直線AP上是否存在點N，使AM+MN的值最小？若存在，求出M、N的坐標：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點C坐標為（3，0），點P（1，-2）；（2）點P（7，0）；（3）點N（-，）．

【解析】

（1）將點A、B坐標代入二次函數表達式，即可求解；
（2）利用S△ABC= ×AC×BH= ×BC×yA，求出sinα= ，則tanα= ，在△PMD中，tanα= = ，即可求解；
（3）作點A關于對稱軸的對稱點A′（5，6），過點A′作A′N⊥AP分別交對稱軸與點M、交AP于點N，此時AM+MN最小，即可求解．

（1）將點A、B坐標代入二次函數表達式得：，解得：，

故：拋物線的表達式為：y=x2-x-，

令y=0，則x=-1或3，令x=0，則y=-，

故點C坐標為（3，0），點P（1，-2）；

（2）過點B作BH⊥AC交于點H，過點P作PG⊥x軸交于點G，

設：∠DPC=∠BAC=α，

由題意得：AB=2，AC=6，BC=4，PC=2，

S△ABC=×AC×BH=×BC×yA，

解得：BH=2，

sinα===，則tanα=，

由題意得：GC=2=PG，故∠PCB=45°，

延長PC，過點D作DM⊥PC交于點M，

則MD=MC=x，

在△PMD中，tanα===，

解得：x=2，則CD=x=4，

故點P（7，0）；

（3）作點A關于對稱軸的對稱點A′（5，6），

過點A′作A′N⊥AP分別交對稱軸與點M、交AP于點N，此時AM+MN最小，

直線AP表達式中的k值為：=-2，則直線A′N表達式中的k值為，

設直線A′N的表達式為：y=x+b，

將點A′坐標代入上式并求解得：b=，

故直線A′N的表達式為：y=x+…①，

當x=1時，y=4，

故點M（1，4），

同理直線AP的表達式為：y=-2x…②，

聯立①②兩個方程并求解得：x=-，

故點N（-，）．