Question

【題目】如圖，將放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，同一時(shí)間，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒(t.

（Ⅰ）用含的代數(shù)式表示；

（Ⅱ）①是否存在的值，使四邊形為平行四邊形？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由；

②是否存在的值，使四邊形為菱形？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

（Ⅲ）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出線段的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).（直接寫出結(jié)果即可）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①存在，；②不存在，四邊形不能為菱形，見解析；（Ⅲ）線段中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意得到OQ=2t，AP=t，求出BQ=8-2t，證明△ADP∽△ABO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PD；
（Ⅱ）①根據(jù)平行四邊形的判定方法得出BQ=DP，列出關(guān)于t的方程，解方程即可；②先根據(jù)勾股定理得出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)平行線分線段成比例定理可得AD=，，根據(jù)①中是平行四邊形時(shí)t的值求出PD和BD的值即可判定.

（Ⅲ）根據(jù)點(diǎn)Q在BO上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AO上運(yùn)動(dòng)，得出線段PQ的中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑為一條線段，確定點(diǎn)Q分別與點(diǎn)O、點(diǎn)B重合時(shí)PQ的中點(diǎn)M的位置，再進(jìn)一步求解可得．

解：（I）∵點(diǎn)，點(diǎn)，

∴， ，

且由題意， ， ，

∵，

∴，

又，， ，

∴

∴.

（Ⅱ）①∵，若，

∴則四邊形是平行四邊形，

即，解得：.

∴當(dāng)時(shí)，∴四邊形為平行四邊形.

②不存在，理由如下：

∵， ，

∴在中， ，

∵，∴，，，

∴當(dāng)，四邊形為平行四邊形時(shí)，

，

∴，

∴四邊形PDBC不能為菱形.

（Ⅲ））∵點(diǎn)Q在BO上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AO上運(yùn)動(dòng)，

∴線段PQ的中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑為一條線段，

∵當(dāng)Q在點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)A處，
∵點(diǎn)M為PQ的中點(diǎn)

∴OM=PQ=，
∵當(dāng)Q在點(diǎn)B時(shí)，AP=4，則OP=2

此時(shí)，連接PQ，取PQ的中點(diǎn)，過(guò)作OA于E，

∴OE=1，
∴EM=2，
∵AO⊥BO、E⊥OA，
∴E∥BO，
∵為PQ的中點(diǎn)，
∴E為△BOP的中位線，
∴E=BO=4，
點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑為M==2．