Question

【題目】如圖，中，，，，是線段上的一個動點，以為直徑作分別交、于、，連接，當線段長度取最小值時，______.

Answer 1

【答案】

【解析】

連結OE、OF，作OG⊥EF于G，AH⊥BC于H，如圖，設⊙O的半徑為r，易得△ABH為等腰直角三角形，則可求出AH的長，根據三角形內角和計算出∠BAC=60°，于是根據圓周角定理得到∠EOF=2∠BAC=120°，則∠OEF=30°，接著根據垂徑定理得EG=FG，然后根據含30度的直角三角形三邊的關系得到EG=OG=r，則EF=2EG=r，由于AD為⊙O的直徑，利用垂線段最短得AD=AH=6時，AD最短，半徑最小，EF最小，此時CD=CH，接著利用75°的正切值求出CH，從而得到CD的長．

連結OE、OF，作OG⊥EF于G，AH⊥BC于H，如圖，設⊙O的半徑為r．

∵∠ABC=45°，∴△ABH為等腰直角三角形，∴AH=AB=×6=6．

∵∠BCA=75°，∠ABC=45°，∴∠BAC=180°﹣75°﹣45°=60°，∴∠EOF=2∠BAC=120°．

∵OE=OF，∴∠OEF=30°．

∵OG⊥EF，∴EG=FG．在Rt△OEG中，OG=OE=r，∴EG=OG=r，∴EF=2EG=r．

∵AD為⊙O的直徑，∴當AD=AH=6時，AD最短，半徑最小，EF最小，此時CD=CH．在Rt△ACH中，tan∠ACH=tan75°==2+，∴CH==，∴此時CD的長為．

故答案為：．