Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，為軸負半軸上的點，為軸負半軸上的點.

(1)如圖1，以點為頂點、為腰在第三象限作等腰，若，，試求點的坐標；

(2)如圖，若點的坐標為，點的坐標為，點的縱坐標為，以為頂點，為腰作等腰.試問：當點沿軸負半軸向下運動且其他條件都不變時，整式的值是否發生變化？若不發生變化，請求出其值；若發生變化，請說明理由；

(3)如圖，為軸負半軸上的一點，且，于點，以為邊作等邊，連接交于點，試探索：在線段、和中，哪條線段等于與的差的一半？請你寫出這個等量關系，并加以證明.

Answer 1

【答案】(1) C(-6,-2);(2)不發生變化，值為；（3）EN=(EM-ON)，證明見詳解.

【解析】

（1）作CQ⊥OA于點Q,可以證明，由QC=AD,AQ=BO,再由條件就可以求出點C的坐標；

（2）作DP⊥OB于點P，可以證明，則有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n為定值，從而可以求出結論的值不變為.

（3）作BH⊥EB于點B，由條件可以得出∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以證明，則GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG,最后由平行線分線段成比例定理就可得出EN=(EM-ON).

（1）如圖（1）作CQ⊥OA于Q,

∴∠AQC=90°,

∵為等腰直角三角形，

∴AC=AB,∠CAB=90°,

∴∠QAC+∠OAB=90°,

∵∠QAC+∠ACQ=90°,

∴∠ACQ=∠BAO,

又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,

∴(AAS),

∴CQ=AO,AQ=BO,

∵OA=2,OB=4,

∴CQ=2,AQ=4,

∴OQ=6,

∴C(-6,-2).

(2)如圖（2）作DP⊥OB于點P,

∴∠BPD=90°,

∵是等腰直角三角形，

∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,

∵∠OBD+∠BDP=90°,

∴∠ABO=∠BDP,

又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,

∴

∴AO=BP,

∵BP=OB-PO=m-(-n)=m+n,

∵A,

∴OA=,

∴m+n=,

∴當點B沿y軸負半軸向下運動時，AO=BP=m+n=,

∴整式的值不變為.

（3）

證明：如圖（3）所示，在ME上取一點G使得MG=ON,連接BG并延長，交x軸于H.

∵為等邊三角形，

∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,

∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,

∵OE=OB,

∴OE=OM=BM,

∴∠3=∠EMO=15°,

∴∠BEM=30°,∠BME=45°,

∵OF⊥EB,

∴∠EOF=∠BME,

∴,

∴BG=EN,

∵ON=MG,

∴∠2=∠3,

∴∠2=15°,

∴∠EBG=90°,

∴BG=EG,

∴EN=EG,

∵EG=EM-GM,

∴EN=(EM-GM),

∴EN=(EM-ON).