Question

【題目】如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E．

（1）若BC=10，求△ADE的周長；

（2） 設直線DM、EN交于點O

①試判斷點O是否在BC的垂直平分線上，并說明理由；

②若∠BAC=100°，求∠BOC的度數

Answer 1

【答案】（1）10；（2）點O是否在BC的垂直平分線上，理由見解析；（3）160°

【解析】

（1）由在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，根據線段垂直平分線的性質可得AD=BD，AE=CE，繼而可得△ADE的周長=BC；

（2）①連接OB，OA，OC，證明OB=OC即可；

②根據題意得∠BOC=2∠MON,由四邊形內角和可得∠BOC的度數.

（1）∵在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，

∴AD=BD，AE=CE，

又∵BC=10，

∴△ADE周長為：AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10；

（2）①如圖，連接OB，OA，OC，

∵MO是AB的垂直平分線，NO是AC的垂直平分線，

∴BO=AO，CO=AO，

∴BO=CO，

∴O在BC的垂直平分線上；

②∵OM⊥AB，ON⊥AC，

∴∠AMO=∠ANO=90°，

∵∠BAC=100°，

∴∠MOM=360°-∠AMO-∠BAC-∠ANO=80°;

∵MO是AB的垂直平分線，NO是AC的垂直平分線，

∴∠BOM=∠AOM，∠CON=∠AON，

∴∠BOC=2∠MON=160°．