Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝﹣x+2向下平移1個(gè)單位后，得到直線l2，l2交x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直線l1上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交l2于點(diǎn)Q

（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）連接AP，當(dāng)△APQ為以PQ為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)B為OA的中點(diǎn)，連接OQ、BQ，若點(diǎn)P在y軸的左側(cè)，M為直線y＝﹣1上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PQM與△BOQ全等時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A(2，0)；（2）P(3，)，Q(3，﹣)；（3）M(﹣1，﹣1)或(﹣1，8)

【解析】

（1）求出直線l2的解析式為y＝﹣x+1，即可求A的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x+2），Q（x，﹣x+1），由AQ＝AP，即可求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）設(shè)P（n，﹣n+2），M（m，﹣1），則Q（n，﹣n+1），可求出BQ＝，OQ＝，PM＝，QM＝，①當(dāng)△PQM≌△BOQ時(shí)，PM＝BQ，QM＝OQ，結(jié)合勾股定理，求出m；②當(dāng)△QPM≌△BOQ時(shí)，有PM＝OQ，QM＝BQ，結(jié)合勾股定理，求出m即可．

解：（1）∵直線l1：y＝﹣x+2向下平移1個(gè)單位后，得到直線l2，

∴直線l2的解析式為y＝﹣x+1，

∵l2交x軸于點(diǎn)A，

∴A（2，0）；

（2）當(dāng)△APQ為以PQ為底邊的等腰三角形時(shí)，

∴AQ＝AP，

∵點(diǎn)P是直線l1上一動(dòng)點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x+2），

∵過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交l2于點(diǎn)Q

∴Q（x，﹣x+1），

∴（﹣x+2）2＝（﹣x+1）2，

∴x＝3，

∴P（3，），Q（3，﹣）；

（3）∵點(diǎn)B為OA的中點(diǎn)，

∴B（1，0），

∴PQ＝BO＝1，

設(shè)P（n，﹣n+2），M（m，﹣1），則Q（n，﹣n+1），

∴BQ＝，OQ＝，

PM＝，QM＝，①

∵△PQM與△BOQ全等，

①當(dāng)△PQM≌△BOQ時(shí)，

有PM＝BQ，QM＝OQ，

＝，＝，

∴n＝2m﹣2，

∵點(diǎn)P在y軸的左側(cè)，

∴n＜0，

∴m＜1，

∴m＝﹣1，

∴M（﹣1，﹣1）；

②當(dāng)△QPM≌△BOQ時(shí)，

有PM＝OQ，QM＝BQ，

＝，＝，

∴n＝﹣m，

∵點(diǎn)P在y軸的左側(cè)，

∴n＜0，

∴m＞2，

∴m＝8，

∴M（﹣1，8）；

綜上所述，M（﹣1，﹣1）或M（﹣1，8）．1：y＝﹣x+2向下平移1個(gè)單位后，得到直線l2，