Question

【題目】如圖，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，

（1）求證：△ABQ ≌ △CAP；

（2）∠CMQ的大小變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數；

（3）連接PQ,當點P、Q運動多少秒時，△APQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠CMQ的大小不變且為60度；（3）t=2.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質、三角形全等的判定定理證明；

（2）根據全等三角形的性質得到∠BAQ＝∠ACP，根據三角形的外角的性質解答；

（3）分三種情況分別討論即可求解.

（1）根據路程=速度×時間可得：AP=BQ

∵△ABC是等邊三角形

∴∠PAC=∠B=60°，AB=AC

∴△ABQ≌△CAP（SAS）

（2）∵ △ABQ≌△CAP

∴∠BAQ=∠ACP

∴∠CMQ=∠ACM+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=60°

因此，∠CMQ的大小不變且為60度

（3）當AP=AQ時，僅當P運動到B點，Q運動到C點成立，故不符合題意；

當PQ=AQ時，僅當P運動到B點，Q運動到C點成立，故不符合題意；

當AP=PQ時，如圖，當AQ⊥BC時，AP=BP=PQ,故t=2÷1=2時，△APQ為等腰三角形；

綜上，當t=2時，△APQ為等腰三角形，此時AP=PQ.