Question

【題目】如圖，在中，，是邊上任意一點(點與點、不重合)，以為一直角邊在的外部作，，連接，．

（1）在圖中，若，，現將圖中的繞著點順時針旋轉銳角，得到圖，那么線段，之間有怎樣的關系，寫出結論，并說明理由；

（2）在圖中，若，，，，現將圖中的繞著點順時針旋轉銳角，得到圖，連接、．

①求證：；

②計算：的值．

Answer 1

【答案】（1）BE=CD，BE⊥CD；理由見解析；（2）①證明見解析；②170．

【解析】

（1）結論：BE=CD，BE⊥CD；只要證明△ABE≌△ACD，即可解決問題；

（2）①根據兩邊成比例夾角相等即可證明△BAE∽△CAD；

②由①得到∠BEA=∠CDA，再根據等量代換得到∠EGD=90°，即DG⊥BE，根據勾股定理計算即可.

（1）BE=CD，BE⊥CD

理由：如圖，設CD與BE、AE分別交于點G、F.

∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE

即∠BAE=∠CAD

又∵AB=AC，AE=AD

∴△ABE≌△ACD（SAS）∴BE=CD，∠ADC=∠AEB

∵∠EAD=90°，∴∠ADC+∠AFD=90°，

又∵∠ADC=∠AEB，∠AFD=∠EFG

∴∠AEB+∠EFG=90°，

∴∠EGF=90°

∴BE⊥CD

（2）①∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD

∵AB=5，AC=3，AE=10，AD=6

∴,，∴

∴△BAE∽△CAD

②如圖，延長DC交BE于點G

∵△BAE∽△CAD

∴∠BEA=∠CDA

在Rt△ADE中，∠ADE+∠AED=90°

∴∠CDA+∠CDE+∠AED=90°

∴∠BEA+∠AED+∠CDE=90°

∴∠EGD=90°