Question

【題目】如圖，一次函數的圖象與二次函數的圖象交于坐標軸上的兩點．

（1）求二次函數的解析式；

（2）點是直線上方拋物線上一點，過點分別作軸軸平行線分別交直線于點和點，設點的橫坐標為，請用含的代數式表示的周長，并求出當的周長取得最大值(不需要求出此最大值)時點的坐標；

（3）點是直線上一點，點是拋物線上一點，在第二問的周長取得最大值的條件下，請直接寫出使以點為頂點的四邊形是平行四邊形的點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）周長，；（3）點的坐標為或

【解析】

（1）先利用一次函數解析式，求出A，B坐標，再代入，求出b，c即可得到二次函數解析式；

（2）設點，可得出PQ的表達式，易證為等腰直角三角形，即可得出，再利用二次函數的性質可得出周長最大時M的坐標；

（3）設，，根據平行四邊形對角線互相平分的性質，分別討論PC，PQ，PD為對角線，建立方程求解．

解：（1）令中為0得y=4，則，

令y=0，得，解得，則

分別將點的坐標代人到，

得，解得

∴二次函數的解析式為．

（2）由題意設點，

則．

∵，

∴，

∵軸， 軸，

∴，即為等腰直角三角形．

設的周長為，則，

即．

當時，的周長取得最大值，

將代入到中可得，，

∴，

∵軸，

∴，

∴，

∴，

∴

（3）設，，

在（2）的條件下P點坐標為，Q點坐標為

①當PC為對角線時，

，解得

此時C與Q點重合，不符合題意，舍去；

②當PQ為對角線時，

，解得

此時C與Q點重合，不符合題意，舍去；

③當PD為對角線時，

，解得或

當時，，即

當時，，即

綜上，點的坐標為或．