Question

2．用“☆”定義一種新運算：對于任意有理數a和b，規定a☆b=ab²-2ab+a．  如：1☆3=1×3²-2×1×3+1=4．
（1）求（-2）☆5的值；
（2）若$\frac{a+1}{2}$☆3=8，求a的值；
（3）若m=2☆x，n=（1-x）☆3（其中x為有理數），試比較大小m＞或=或＜n（填“＞”、“＜”或“=”）．

Answer 1

分析 （1）根據☆的含義，以及有理數的混合運算的運算方法，求出（-2）☆5的值是多少即可．
（2）根據☆的含義，可得$\frac{a+1}{2}$☆3=$\frac{a+1}{2}$×3²-2×$\frac{a+1}{2}$×3+$\frac{a+1}{2}$=8，據此求出a的值是多少即可．
（3）首先根據☆的含義，以及m=2☆x，n=（1-x）☆3（其中x為有理數），分別求出m、n的值各是多少；然后比較大小即可．

解答 解：（1）（-2）☆5
=（-2）×5²-2×（-2）×5+（-2）
=-50+20-2
=-32；
（2）$\frac{a+1}{2}$☆3
=$\frac{a+1}{2}$×3²-2×$\frac{a+1}{2}$×3+$\frac{a+1}{2}$
=4.5a+4.5-3a-3+0.5a+0.5
=2a+2
=8
解得：a=3；
（3）m=2☆x
=2x²-2×2x+2
=2x²-4x+2
n=（1-x）☆3
=（1-x）×3²-2×（1-x）×3+（1-x）
=9-9x-6+6x+1-x
=4-4x
∵m-n=（2x²-4x+2）-（4-4x）
=2x²-2，
當x＞1或x＜-1時，2x²-2＞0，即m＞n，
當x=±1時，2x²-2=0，即m=n
當-1＜x＜1時，2x²-2＜0，即m＜n，
故答案為：＞或=或＜．

點評 此題主要考查了定義新運算，以及有理數的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算．