Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分線，E是AB上一點，且AE＝AD，連接ED，作EF⊥BD于F，連接CF．則下面的結論：

①CD＝CF；

②∠EDF＝45°；

③∠BCF＝45°；

④若CD＝4，AD＝5，則S△ADE＝10．其中正確結論的個數是（　　）

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

首先證明∠EDF=45°再利用全等三角形的性質以及圓周角定理、角平分線的性質定理一一判斷即可．

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED，
∵∠AED=∠ABD+∠BDE，
∴2∠ABD+2∠BDE+∠A=180°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴2∠BDE=90°，
∴∠BDE=45°，
∵EF⊥DF，
∴∠EFD=90°，
∴∠EDF=∠FED=45°，故②正確，
延長EF交BC于H，連接CD．

∵∠FBE=∠FBH，BF=BF，∠BFE=∠BFH，
∴△BFE≌△BFH（ASA），
∴EF=FH，∵DF⊥EH，
∴DE=DH，
∴∠DEH=∠DHE=45°，
∵∠DFH+∠DCH=180°，
∴D，F，H，C四點共圓，
∴∠DCF=∠DHF=45°，
∴∠BCF=45°，故③正確，
作DM⊥AB于M，
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DM⊥AB，
∴DM=DC=4，
∵AE=AD=5，
∴S△ADE=AEDM=10，故④正確，
無法判斷CF≠CD，故①錯誤，
故選：C．