Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，且，，我們規(guī)定：如果存在點(diǎn)P，使是以線段MN為直角邊的等腰直角三角形，那么稱點(diǎn)P為點(diǎn)M、N的“和諧點(diǎn)”.

（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，在直線AB的上方，存在點(diǎn)A，B的“和諧點(diǎn)”C，直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②點(diǎn)C在直線x＝5上，且點(diǎn)C為點(diǎn)A，B的“和諧點(diǎn)”，求直線AC的表達(dá)式.

（2）⊙O的半徑為r，點(diǎn)為點(diǎn)、的“和諧點(diǎn)”，且DE＝2，若使得與⊙O有交點(diǎn)，畫(huà)出示意圖直接寫(xiě)出半徑r的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①點(diǎn)C坐標(biāo)為或；②y＝x＋2或y＝－x＋4；（2）或

【解析】

（1）①根據(jù)“和諧點(diǎn)”的定義即可解決問(wèn)題；

②首先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；

（2）分兩種情形畫(huà)出圖形即可解決問(wèn)題．

（1）①如圖1．

觀察圖象可知滿足條件的點(diǎn)C坐標(biāo)為C（1，5）或C'（3，5）；

②如圖2．

由圖可知，B（5，3）．

∵A（1，3），∴AB=4．

∵△ABC為等腰直角三角形，∴BC=4，∴C1（5，7）或C2（5，﹣1）．

設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），當(dāng)C1（5，7）時(shí)，，∴，∴y=x+2，當(dāng)C2（5，﹣1）時(shí)，，∴，∴y=﹣x+4．

綜上所述：直線AC的表達(dá)式是y=x+2或y=﹣x+4．

（2）分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)：

連接OD．則OD=，∴．

②當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E右側(cè)時(shí)：

連接OE，OD．

∵E（1，2），D（1，4），∴OE=，OD=，∴．

綜上所述：或．