Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）經過點A（-1，0）、B（4，0）與y軸交于點C，tan∠ABC=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M在第一象限的拋物線上，ME平行y軸交直線BC于點E，連接AC、CE，當ME取值最大值時，求△ACE的面積．

（3）在y軸負半軸上取點D（0，-1），連接BD，在拋物線上是否存在點N，使∠BAN=∠ACO-∠OBD？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+2；（2）S△ACE=；（3）存在，N點的坐標為（，）或（，-）．

【解析】

（1）根據tan∠ABC=求出點C的坐標，再根據A，B，C的坐標求出解析式即可；

（2）先求出直線BC的解析式，設出M，E的坐標，求出ME的最大值，即可求出△ACE的面積；

（3）作C′（0，-2）與 C關于x軸對稱，連接BC′，過點D作DE⊥BC′于點E，證明△AOC∽△COB，得到∠BAN=∠ACO-∠OBD=∠DBC′，得出tan∠DBC′=tan∠BAN=，再設N點坐標，根據tan∠BAN=，求出n的值，即可求出N點坐標.

（1）∵B（4，0），

∴OB=4，

∵tan∠ABC===，

∴OC=2，

∴C（0，2），

設y=a（x-1）（x-4），

把C（0，2）代入，得a=-，

∴拋物線的解析式為y=-（x-1）（x-4）=-x2+x+2；

（2）設直線BC的解析式為y=kx+2，

把B（4，0）代入，得k=-，

∴直線BC解析式為y=-x+2，

設M（m，-m2+m+2），

則E（m，-m+2），

∴ME=-m2+2m，

∴當m=2時，ME取得最大值2，

∴E（2，1），

∴S△ACE=S△ABC-S△ABE=×5×（2-1）=；

（3）作C′（0，-2）與 C關于x軸對稱，連接BC′，過點D作DE⊥BC′于點E，

∴∠ABC=∠ABC′，

∵=，∠AOC=∠BOC=90°，

∴△AOC∽△COB，

∴∠ABC=∠ACO，

∴∠ABC′=∠ACO，

即∠BAN=∠ACO-∠OBD=∠DBC′，

由題意得DC′=1、DB=，BC′=2，

∵S△DBC′=，

∴DE=，

∴BE=，

∴tan∠DBC′=tan∠BAN=，

設N（n，-n2+n+2），且n＞0，

∴tan∠BAN===，

①當2n+2=9×（-n2+n+2）時，n1=，n2=-1（舍去）；

②當2n+2=-9×（-n2+n+2）時，n1=，n2=-1（舍去）；

∴N點的坐標為（，）或（，-）．