Question

【題目】點P為拋物線為常數，）上任意一點，將拋物線繞頂點G逆時針旋轉90°后得到的圖象與軸交于A、B兩點（點A在點B的上方），點Q為點P旋轉后的對應點．

（1）拋物線的對稱軸是直線________，當m=2時，點P的橫坐標為4時，點Q的坐標為_________；

（2）設點Q請你用含m，的代數式表示則________；

（3）如圖，點Q在第一象限，點D在軸的正半軸上，點C為OD的中點，QO平分∠AQC，當AQ=2QC，QD=時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）x=m，Q（-2,2）；（2）a=m-；（3）m=1.

【解析】

（1）配方即可得出拋物線的對稱軸；根據m的值確定出原拋物線的解析式，進而可求得P、G的坐標，過P作PE⊥x軸于E，過Q作QF⊥x軸于F，根據旋轉的性質知：△GQF≌△PGE，則QF＝GE、PE＝GF，可據此求得點Q的坐標．

（2）已知Q點坐標，即可得到QF、FG的長，仿照（1）的方法可求出點P的坐標，然后代入原拋物線的解析式中，可求得a、b、m的關系式．

（3）延長QC到E，使得QC＝CE，那么AQ＝QE，可證△QCD≌△ECO，那么QD＝OE＝m，而AQ＝QE，且QO平分∠AQC，易證得△AQO≌△EQO，則OA＝OE＝m，即A點坐標為（0，m），然后將點A的坐標代入（2）的關系式中，即可求得m的值．

（1）=，對稱軸為直線x=m．

當m＝2時，y＝（x﹣2）2，則G（2，0）．

∵點P的橫坐標為4，且P在拋物線上，∴將x＝4代入拋物線解析式得：y＝（4﹣2）2＝4，∴P（4，4），如圖，連接QG、PG，過點Q作QF⊥x軸于F，過點P作PE⊥x軸于E，依題意，可得：△GQF≌△PGE，則FQ＝EG＝2，FG＝EP＝4，∴FO＝2，∴Q（﹣2，2）．

（2）已知Q（a，b），則GE＝QF＝b，FG＝m﹣a．

由（1）知：PE＝FG＝m﹣a，GE＝QF＝b，即P（m+b，m﹣a），代入原拋物線的解析式中，得：m﹣a＝（m+b）2﹣2m（m+b）+m2，m﹣a＝m2+b2+2mb﹣2m2﹣2mb+m2，a＝m﹣b2，故用含m，b的代數式表示a：a＝m﹣b2．

（3）如圖，延長QC到點E，使CE＝CQ，連接OE．

∵C為OD中點，∴OC＝CD．

∵∠ECO＝∠QCD，∴△ECO≌△QCD，∴OE＝DQ＝m．

∵AQ＝2QC，∴AQ＝QE．

∵QO平分∠AQC，∴∠1＝∠2，∴△AQO≌△EQO，∴AO＝EO＝m，∴A（0，m）．

∵A（0，m）在新圖象上，∴0＝m﹣m2，∴m1＝1，m2＝0（舍），∴m＝1．