Question

【題目】小華同學對圖形旋轉前后的線段之間、角之間的關系進行了拓展探究．

（一）猜測探究

在△ABC中，AB＝AC，M是平面內任意一點，將線段AM繞點A按順時針方向旋轉與∠BAC相等的角度，得到線段AN，連接NB．

（1)如圖1，若M是線段BC上的任意一點，請直接寫出∠NAB與∠MAC的數量關系是_______，NB與MC的數量關系是_______；

（2)如圖2，點E是AB延長線上點，若M是∠CBE內部射線BD上任意一點，連接MC，（1)中結論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由。

（二)拓展應用

如圖3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝90°，∠C1＝30°，P是B1C1上的任意點，連接A1P，將A1P繞點A1按順時針方向旅轉60°，得到線段A1Q，連接B1Q．求線段B1Q長度的最小值．

Answer 1

【答案】（一）（1）∠NAB=∠MAC，BN=MC；（2）成立，理由見解析；（二）QB1的最小值為4-4

【解析】

（一）（1）由旋轉知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，進而得出∠MAC=∠NAB，判斷出△CAM≌△BAN，即可得出結論；
（2）由旋轉知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，進而得出∠MAC=∠NAB，判斷出△CAM≌△BAN，即可得出結論；

（二）如圖3中，在A1 C1上截取A1N= A1 B1，連接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．理由全等三角形的性質證明B1Q=PN，推出當PN的值最小時，Q B1的值最小，求出HN的值即可解決問題．

解：（一）（1）結論：∠NAB=∠MAC，BN=MC．
理由：如圖1中，

∵∠MAN=∠CAB，
∴∠NAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC，
∴∠NAB=∠MAC，
∵AB=AC，AN=AM，
∴△NAB≌△MAC（SAS），
∴BN=CM．
故答案為：∠NAB=∠MAC，BN=CM，

（2）（1）中結論仍然成立，
理由：由旋轉知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，
∴∠BAC-∠BAM=∠NAM-∠BAM，
即：∠MAC=∠NAB，
∵AB=AC，
∴△CAM≌△BAN（SAS），
∴MC=NB；

（二）如圖3中，在A1 C1上截取A1N= A1 B1，連接PN，作NH⊥B1 C1于H，作A1M⊥B1C1于M．

∵∠C1A B1=∠P A1Q，
∴∠Q A1 B1=∠P A1 N，
∵A1A= A1P，A1 B1=AN，
∴△Q A1 B1≌△P A1N（SAS），
∴B1Q=PN，
∴當PN的值最小時，Q B1的值最小，
在Rt△A1 B1M中，∵∠A1 B1M=60°，A1 B1=8，
∴A1M= A1 B1sin60°=4，
∵∠M A1 C1=∠B1 A1 C1-∠B1 A1M=75°-30°=45°，
∴A1 C1=4，
∴N C1= A1 C1- A1N=4-8，
在Rt△NH C1，∵∠C1=45°，
∴NH=4-4，
根據垂線段最短可知，當點P與H重合時，PN的值最小，
∴Q B1的最小值為4-4