Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（）與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在A的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，D是拋物線的頂點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí)，求頂點(diǎn)D 的坐標(biāo)

（2）若OD = OB，求的值；

（3）設(shè)E為A，B兩點(diǎn)間拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)A，B），過(guò)點(diǎn)E作EH⊥軸，垂足為H，交直線BC于點(diǎn)F. 記線段EF的長(zhǎng)為t，若t的最大值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）D（1，4）；（2）；（3）

【解析】

（1）把代入解析式可求出解析式,再把解析式化為頂點(diǎn)式即可求得結(jié)果.

（2）令y=0可得出,,即可得到A,B的坐標(biāo),再把一般式化為頂點(diǎn)式可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)D,根據(jù)勾股定理可得,再根據(jù)OD = OB列出等式即可求出結(jié)果.

（3）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C 的直線為把點(diǎn)代入可得到,再設(shè)點(diǎn)E（，）在拋物線（）上,可得點(diǎn)F（，）, 根據(jù)A（，），B（，），點(diǎn)E 在點(diǎn)A，B間的拋物線上,知道線段EF的長(zhǎng)有兩種情況,分別是當(dāng) 時(shí)和當(dāng) 時(shí),即可求出結(jié)果.

（1）解：∵ ，∴ .

由,

∴ 頂點(diǎn)D（1，4）.

（2）解：當(dāng)時(shí),有,即,

解得,.

∴ A（，）,B（，）.

∴ OB =3.

∵ .

∴ D（，）.

根據(jù)勾股定理，有.

∵ OD=OB，∴ .

解得 ,（舍）,

∴ .

（3）解：設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C 的直線為.

把點(diǎn) B（，），C（，）代入,得.

設(shè)點(diǎn)E（，）在拋物線（）上,

有,點(diǎn)F（，）.

∵ A（，），B（，），點(diǎn)E 在點(diǎn)A，B間的拋物線上.

∴ 線段EF的長(zhǎng)有兩種情況:

①當(dāng) 時(shí),

∴ EF =t =.

∵ ,,

∴ 有最大值.

即 當(dāng)時(shí)，t的最大值是.

②當(dāng) 時(shí),

∴ EF =t =.

∵ ，

∴ 當(dāng) 時(shí)，隨的增大而減小.

∴ 當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值是.

∵ ，∴.

當(dāng)時(shí)，的最大值是.

∴ . 即.