Question

【題目】如圖，已知矩形AOBC中．OB=3個單位，BC=4個單位，動點P從點A出發，沿射線AO以每秒4個單位長度的速度運動．同時動點Q從點B出發，沿射線BC以每秒2個單位的速度運動，設運動時間為t秒．

（1）用t表示線段PO的長度；

（2）當t為何值時，四邊形APQC是矩形；

（3）設△APO與△AOB的重疊部分的面積為s平方單位，求s關于t的函數關系式；

（4）過點P作PE⊥AO交直線AB于點E，在動點P、Q運動的過程中，點H是平面內一點，當以B、Q、E、H為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出運動時間t的值．

Answer 1

【答案】（1）當0＜t≤1時，PO=4﹣4t，當t＞1時，PO=4t﹣4；（2）當t= 時，四邊形APQC是矩形；（3）s＝4t;(4)

【解析】

(1)、分兩種情況進行考慮：即當點P在線段AO上，點P在射線AO上；(2)、根據題意得出）AP=4t．CQ=4﹣2t，根據矩形的性質得出AP=CQ，從而得出答案；(3)、①、當0＜t≤1時，重疊部分是△ADP，，作DM⊥OA于M，交BC于N，根據三角形相似得出答案；當t＞1時，重疊部分是四邊形ADKO，作DM⊥OA于M，交BC于N，PQ交OB于K，根據相似求出線段的長度，然后求出面積；(4)、分四種情況來進行計算，即當BE為菱形的對角線；當BE=BQ；當BQ是菱形的對角線；當BE=BQ時．分別畫出四個圖形，從而得出答案．

（1）當0＜t≤1時，PO=4﹣4t，當t＞1時，PO=4t﹣4；

（2）AP=4t．CQ=4﹣2t，當APQC是矩形時，有AP=CQ， 即4t=4﹣2t，∴t=

當t= 時，四邊形APQC是矩形．

（3）①如圖1中，當0＜t≤1時，重疊部分是△ADP，作DM⊥OA于M，交BC于N．

∵BQ=2t，AP=4t，BQ∥AP，∴===， ∵AC=OB=3，∴DM=×3=2，

∴s=．

②如圖2中，當t＞1時，重疊部分是四邊形ADKO，作DM⊥OA于M，交BC于N，PQ交OB于K．

∵OP∥BQ，∴=，∴=，∴OK=，

∴，

（4）①如圖3中，當BE為菱形的對角線時，

∵四邊形EQBH是菱形，∴EK=BK=（5﹣5t），∵=cos∠ABC=，∴=，

∴t=．

②如圖4 中，當BE=BQ時，

則有：5﹣5t=2t，t=．

③如圖5中，當BQ是菱形的對角線時，

由cos∠ABC=，可得： =，解得t=．

④如圖6中，當BE=BQ時，5t﹣5=2t，解得t=，

綜上所述，滿足條件時t的值為．